[tex] \\ [/tex]
Lingkaran yang berpusat di titik ( 2,4 ) menyinggung sumbu Y dan dipotong oleh garis y - x = 0 di titik A dan B. Panjang tali busur AB adalah ..
[tex] \\ [/tex]
[tex] \tt \: a. \: 2\sqrt{2} [/tex]
[tex] \tt \: b. \: 3\sqrt{2} [/tex]
[tex] \tt \: c. \: 4 \sqrt{2} [/tex]
[tex] \tt \: d. \: 5 \sqrt{2} [/tex]
[tex] \tt \: e. \: 6 \sqrt{2} [/tex]
[tex] \\ [/tex]
Panjang tali busur AB adalah [tex]\rm 2\sqrt{2}~~\rightarrow~~opsi~a[/tex].
.
PENDAHULUAN
Lingkaran adalah himpunan titik-titik yang membentuk garis melengkung dan kedua ujungnya saling bertemu pada jarak yang sama terhadap titik pusat.
Bentuk umum persamaan lingkaran:
[tex] \boxed{ \red{ \sf {x}^{2} + {y}^{2} + Ax + By + C = 0}}[/tex]
Dengan:
• Pusat[tex]\left( \sf - \dfrac{A}{2},- \dfrac{B}{2} \right)[/tex]
• Jari-jari lingkaran (r) =
[tex]\boxed{ \sf\sqrt{ \dfrac{ {A}^{2} }{4} + \dfrac{ {B}^{2} }{4} - C } } \: \: \red{atau} \: \: \boxed{\sf \sqrt{ \left( - \dfrac{A}{2} \right)^{2} + \left( - \dfrac{B}{2} \right)^{2} - C}}[/tex]
.
Langkah – langkah menyusun persamaan lingkaran:
- Menentukan pusat dan jari – jari lingkaran.
- Menentukan persamaan lingkaran yang sesuai berdasarkan data yang diketahui, dalam bentuk (x – a)² + (y – b)² = r² atau x² + y² = r²
[tex]~[/tex]
Persamaan-Persamaan Lingkaran
[tex]\boxed{\begin{array}{c|c}\underline{ \red{ \sf Data \: Yang \: Diketahui}}&\underline{ \red{\sf Persamaan \: Lingkaran }} \\ &&& \\ \sf \:P(0,0) \: dan \: jari-jari \: r & \sf{x}^{2} + {y}^{2} = {r}^{2} \\&&& \\ \sf \:P(u,v) \: dan \: jari-jari \: r & \sf {(x - u)}^{2} + {(y - v)}^{2} = {r}^{2} \\&&& \\\sf \:P(u,v) \: dan \: menyinggung \\ \sf \: sumbu \: x & \sf {(x - u)}^{2} + {(y - v)}^{2} = {v}^{2} \\&&& \\\sf \:P(u,v) \: dan \: menyinggung \\ \sf \: sumbu \: y& \sf {(x - u)}^{2} + {(y - v)}^{2} = {u}^{2} \: \end{array}}[/tex]
[tex]~[/tex]
Persamaan Garis Singgung Lingkaran
1.Persamaan garis singgung lingkaran di titik [tex](x_1, y_1)[/tex]
[tex]\boxed{\begin{array}{c|c} \sf \: persamaan \: lingkaran \\ \sf {x }^{2} + {y}^{2} = {r}^{2} &\sf x_1 \cdot{x} +y_1\cdot{y} = {r}^{2} \\ &&& \\ \sf persamaan \: lingkaran \\ \sf {(x - a) }^{2} + {(y - b)}^{2} = {r}^{2}& \sf \:( x_1 - a) (x - a) + ( y_1 - b) (y- b) = {r}^{2} \\ &&& \\ \sf persamaan \: lingkaran \\ \sf{x}^{2} + {y}^{2} + Ax +By + c = 0& \sf x \cdot x_1 + y \cdot y_1 + \dfrac{1}{2}A(x +x_1) + \dfrac{1}{2}B(y+y_1) + C = 0\\&&& \\\end{array}}[/tex]
2. Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien tertentu
[tex] \boxed{\begin{array}{c|c} \sf \: persamaan \: lingkaran \\ \sf {x }^{2} + {y}^{2} = {r}^{2} &\sf y = mx \pm \: r \sqrt{ {m}^{2} + 1 } \\ &&& \\ \sf persamaan \: lingkaran \\ \sf {(x - a) }^{2} + {(y - b)}^{2} = {r}^{2}& \sf (y - b) = m(x - a) \pm \: r \sqrt{ {m}^{2} + 1 } \\&&& \\\end{array}}[/tex]
[tex]~[/tex]
Diketahui
Lingkaran yang berpusat di titik ( 2,4 ) menyinggung sumbu Y dan dipotong oleh garis y - x = 0 di titik A dan B.
Ditanya
Panjang tali busur AB
Penyelesaian
Step 1: Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (2,4) dan menyinggung sumbu Y.
Untuk lingkaran dengan pusat di titik (u, v) dan menyinggung sumbu Y, maka persamaan lingkarannya (x - u)² + (y - v)² = u².
Karena lingkaran melalui titik (2,4), maka didapat:
- u = 2
- v = 4
Masukkan u dan v ke bentuk persamaan lingkaran:
(x - u)² + (y - v)² = u²
(x - 2)² + (y - 4)² = 2²
(x - 2)² + (y - 4)² = 4
.
Step 2: Masukkan/substitusi persamaan garis y - x = 0 ke persamaan lingkaran:
y - x = 0 ---> bisa diubah ke bentuk y = x
Substitusi x = y ke persamaan lingkaran:
(x - 2)² + (y - 4)² = 2²
(y - 2)² + (y - 4)² = 4
y² - 4y + 4 + y² - 8y + 16 = 4
y² + y² - 4y - 8y + 4 + 16 - 4 = 0
2y² - 12y + 16 = 0 -----> bagi ruas dengan 2
y² - 6y + 8 = 0
(y - 2)(y - 4) = 0
Diperoleh:
- [tex]\rm y_1 = 2[/tex]
- [tex]\rm y_2 = 2[/tex]
.
Selanjutnya, tentukan [tex]\rm x_1 [/tex] dan [tex]\rm x_2[/tex]
Substitusi [tex]\rm y_1 = 2[/tex] ke persamaan garis y - x = 0
y - x = 0
2 - x = 0
x = 2
Diperoleh [tex]\rm x_1 = 2[/tex].
.
Substitusi [tex]\rm y_2 = 4[/tex] ke persamaan garis y - x = 0
y - x = 0
4 - x = 0
x = 4
Diperoleh [tex]\rm x_2 = 4[/tex].
Maka, dapat disimpulkan bahwa titik potong persamaan lingkaran dengan garis y - x = 0 adalah (2, 2) dan (4, 4).
.
Step 3: Menentukan panjang tali busur AB.
Untuk menentukan panjang tali busur AB, dapat menggunakan rumus jarak antara 2 titik, titik [tex]\rm (x_1,y_1)[/tex] terhadap titik [tex] \rm(x_2,y_2)[/tex]
[tex]\boxed{ \sf\:d = \sqrt{(x_1 - x_2)^{2} +(y_1-y_2)^{2} }}[/tex]
Misalkan:
- Titik A(2, 2)
- Titik B( 4, 4)
Maka didapat:
- [tex]\rm x_1 = 2[/tex]
- [tex]\rm x_2 = 4[/tex]
- [tex]\rm y_1 = 2[/tex]
- [tex]\rm y_2 = 4[/tex]
.
Masukkan ke rumus jarak antara 2 titik.
[tex]\boxed{ \sf\:d = \sqrt{(x_1 - x_2)^{2} +(y_1-y_2)^{2} }}[/tex]
[tex]\sf\:d = \sqrt{(2 - 4)^{2} +(2 - 4)^{2}}[/tex]
[tex]\sf\:d = \sqrt{(-2)^{2} +(-2)^{2}}[/tex]
[tex]\sf\:d = \sqrt{4 + 4}[/tex]
[tex]\sf\:d = \sqrt{8}[/tex]
[tex]\sf\:d = 2\sqrt{2}[/tex]
.
Kesimpulan
Jadi, panjang tali busur AB adalah [tex]\bf 2\sqrt{2}[/tex].
___________
PELAJARI LEBIH LANJUT
- Persamaan lingkaran: https://brainly.co.id/tugas/29027081
- Persamaan garis singgung lingkaran: https://brainly.co.id/tugas/39907736
- Kedudukan antara lingkaran dan garis: https://brainly.co.id/tugas/28972793
[tex]~[/tex]
DETAIL JAWABAN
Mapel: Matematika
Kelas: 11
Materi: Bab 4 - Persamaan Lingkaran
Kode Kategorisasi: 11.2.4
Kata Kunci: Persamaan lingkaran
Jawaban : A
PEMBAHASAN DIFOTO
[answer.2.content]
